תהליך פוליטרופי

תהליך פוליטרופי הוא כל תהליך תרמודינמי, שבו מתקיים: $pV^{n}=C$ . כאשר $p$ הוא הלחץ, $V$ הוא הנפח, $n$ הוא האינדקס הפוליטרופי (הוא תלוי בחומר ויכול לקבל כל ערך מ- $-\infty$ עד $\infty$ ) ו- $C$ הוא קבוע. גדלים נוספים שנשארים קבועים בתהליך פוליטרופי הם $pT^{\frac {n}{1-n}}$ ו- $VT^{\frac {1}{1-n}}$ .

המונח "פוליטרופי" נטבע במקור לתיאור כל תהליך במערכת פתוחה או סגורה של גז או אדים הכוללת העברה של חום ועבודה, כך שהמכפלה הכתובה מעלה נשארת קבועה. ניתן להגדיר תהליך זה כתהליך בו החום הנספג על ידי הגז עקב עלייה של מעלה אחת בטמפרטורה הוא קבוע.

מכיוון שתהליך זה יכול להיות קירוב המתאר בצורה טובה מאוד תהליכים רבים בהם יש התפשטות או דחיסת גז הכוללים מעברי חום, התהליך נקרא polytropic process (poly מלשון ריבוי).

בתהליך פוליטרופי ניתן להשוות בין שני מצבים: $p_{1}V_{1}^{n}=p_{2}V_{2}^{n}$ , ומתקיים השוויון: ${\frac {p_{1}}{p_{2}}}=\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{n}=\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{\frac {n}{n-1}}$ .

כל התהליכים הסטנדרטיים (איזוכורי, אדיאבטי, איזותרמי ואיזוברי) נכנסים תחת הקטגוריה של תהליך פוליטרופי.

מקרים פרטיים

כאשר $n=0$ , זהו תהליך איזוברי.
כאשר $n=+\infty$ , זהו תהליך איזוכורי.

בנוסף, כאשר משוואת הגז האידיאלי מתקיימת:

כאשר $n=1$ , זהו תהליך איזותרמי.
כאשר $n=\gamma$ , זהו תהליך איזנטרופי.

כאשר $\gamma$ היא האינדקס האדיאבטי (הנקרא גם "יחס קיבול החום"), הוא היחס בין קיבול החום בלחץ קבוע ( $C_{p}$ ) לקיבול החום בנפח קבוע ( $C_{v}$ ).

$\gamma ={\frac {C_{p}}{C_{v}}}$

הקשר בין האינדקס הפוליטרופי לבין היחס של מעברי האנרגיה

עבור גז אידיאלי במערכת סגורה בתהליך איטי עם שינויים מזעריים באנרגיה הקינטית ובאנרגיה הפוטנציאלית, התהליך הוא תהליך פוליטרופי כך שמתקיים:

$pv^{(1-\gamma )K+\gamma }=C$

כאשר $K={\frac {\delta q}{\delta w}}$ ולכן, $n=(1-\gamma )K+\gamma$ .

הקשר לתהליכים אידיאליים

עבור ערכים מסוימים של האינדקס הפוליטורפי, נקבל תהליכים אידיאליים מוכרים אחרים. להלן כמה דוגמאות לערכים כאלו:


האינדקס הפוליטרופי	הקשר שמתקיים	השפעות
$n<0$	$pV^{-\|n\|}=C$	חזקה שלילית מתארת תהליך בו חום ועבודה זורמים בו זמנית לתוך המערכת או מחוצה לה. כאשר אין כוחות שפועלים במערכת חוץ מהלחץ, לא יכולים להתקיים תהליכים ספונטאניים כאלו (מהחוק השני של התרמודינמיקה). משתמשים במקרים אלו כשדנים באינטראקציות תרמיות באסטרופיזיקה ובאנרגיה כימית.
$n=0$	$p=C$	שקול לתהליך איזוברי, בו הלחץ קבוע.
$n=1$	$pV=C$	שקול לתהליך איזותרמי, בו הטמפרטורה קבועה (תחת ההנחה של גז אידיאלי, כיוון שמתקיים $pV=nRT$ ).
$1<n<\gamma$	$pV^{n}=C$	תחת ההנחה של גז אידיאלי, חום ועבודה זורמים לכיוונים הפוכים ( $K>0$ ).
$n=\gamma$	$pV^{\gamma }=C$	שקול לתהליך איזנטרופי, בו האנטרופיה נשארת קבועה (תחת ההנחה של גז אידיאלי).
$\gamma <n<+\infty$	$pV^{n}=C$	תחת ההנחה של גז אידיאלי, חום ועבודה זורמים לאותו הכיוון ( $K<0$ ).
$n=+\infty$	$V=C$	שקול לתהליך איזוכורי, בו הנפח נשאר קבוע.

פיתוח של משוואת התהליך הפוליטרופי

החוק הראשון של התרמודינמיקה:

$dQ=dU+dW$

משוואת הגז האידיאלי:

$pV=nRT$

כאשר ${\textstyle R=C_{p}-C_{V}}$ .

כיוון שבתהליך פוליטרופי קיבול החום קבוע, ניתן לרשום:

$dW=pdV,\ \ \ dU=nC_{V}dT,\ \ \ {\displaystyle dQ=nCdT}$ .

כאשר $C$ הוא קבוע.

נציב בחוק הראשון, ונקבל:

$(1)\ n(C-C_{V})dT=pdV\Longleftarrow {\displaystyle nCdT=nC_{V}dT+pdV}$

אם נגזור את משוואת הגז האידיאלי, נקבל:

$pdV+Vdp=nRdT$

נחלץ את $dT$ ונציב במשואה (1):

$n(C-C_{V})\left({\frac {pdV+Vdp}{nR}}\right)=pdV$

נשתמש בהגדרה של $R$ ונקבל,

$\left({\frac {C-C_{p}}{C-C_{V}}}\right){\frac {dV}{V}}+{\frac {dp}{p}}=0$

נבצע אינטגרציה על שני האגפים ונקבל,

$\left({\frac {C-C_{p}}{C-C_{V}}}\right)ln(V)+ln(p)=Const\Longrightarrow pV^{\left({\frac {C-C_{p}}{C-C_{V}}}\right)}=Const$

כאשר ${\textstyle n={\frac {C-C_{p}}{C-C_{V}}}}$ .

עבודה של גז אידיאלי ומעבר חום בתהליך פוליטרופי

$W_{1\rightarrow 2}=\int \limits _{1}^{2}pdV=\int \limits _{1}^{2}{\frac {C}{V^{n}}}dV=\left[{\frac {CV^{1-n}}{1-n}}\right]_{1}^{2}=\left[{\frac {pV}{1-n}}\right]_{1}^{2}={\frac {p_{1}V_{1}-p_{2}V_{2}}{n-1}}={\frac {mR(T_{1}-T_{2})}{n-1}}$

השינוי באנרגיה הפנימית הוא:

$\Delta U_{1\rightarrow 2}=mC_{V}(T_{2}-T_{1})$

ומכאן נוכל לחלץ את כמות החום שעבר בתהליך:

$\Delta Q_{1\rightarrow 2}=mC_{V}{\frac {n-\gamma }{n-1}}(T_{2}-T_{1})={\frac {\gamma -n}{\gamma -1}}W_{1\rightarrow 2}$ נשים לב, כאשר $n=\gamma$ , מקבלים $\Delta Q=0$ . בהתאם למה שמצופה בתהליך אדיאבטי.